Задача 115674

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В параллелограмме ABCD, не являющемся ромбом, проведена биссектриса угла BAD. K и L – точки её пересечения с прямыми BC и CD соответственно. Докажите, что центр окружности, проведённой через точки C, K и L, лежит на окружности, проведённой через точки B, C и D.

Решение

Можно считать, что  AB < BC.  Пусть O – центр описанной окружности треугольника CKL.

∠KLC = ∠KAB = ∠KAD = ∠LKC,  значит, треугольники ABK и KCL – равнобедренные. Поэтому равнобедренные треугольники KCO и CLO равны (по трём сторонам). Следовательно, треугольники BKO и DCO равны (по двум сторонам и углу:
∠BKO = 180° – ∠CKO = 180° – ∠LCO = ∠DCO).  Значит, и  ∠OBC = ∠OBK = ∠ODC.  Точки B и D находятся по одну сторону от прямой CO (CO – биссектриса внешнего угла C треугольника BCD), следовательно, точки  B, O, C, D  лежат на одной окружности.

Замечания

10 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2565
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1986
выпуск
Номер	10
Задача
Номер	М1009
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	7
Дата	1985/1986
вариант
Вариант	весенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер	5