Задача 115726

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Из точки T провели касательную TA и секущую, пересекающую окружность в точках B и C . Биссектриса угла ATC пересекает хорды AB и AC в точках P и Q соответственно. Докажите, что PA= .

Решение

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что BAT = ACB = ACT . По теореме о внешнем угле треугольника

AQP = AQT = ACT + CTQ,

APQ = PAT + ATP= BAT+ ATP= ACT + CTQ,
значит, APQ = AQP , поэтому треугольник APQ — равнобедренный, AP=AQ .
По свойству биссектрисы треугольника
=, =.
Перемножив эти равенства, получим, что
== =1,
т.к. TA2=TB· TC по теореме о касательной и секущей. При этом AP=AQ , значит, =1 , следовательно, AP= .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2596