Задача 115770

Темы:    [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Правильные многоугольники ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Выпуклый многоугольник описан около окружности. Точки касания его сторон с окружностью образуют многоугольник с таким же набором углов (порядок углов может быть другим). Верно ли, что многоугольник правильный?

Решение

Автор: Кайранбай М.

Пусть A₁A₂... A_n – данный многоугольник, B₁, B₂, ..., B_n – точки касания вписанной окружности со сторонами A₁A₂, A₂A₃, ..., A_nA₁. Обозначим значения углов первого многоугольника через a₁, ..., a_n, а второго – через b₁, ..., b_n. Тогда  b_i = ½ (a_i + a_i+1).  Перемножая n таких равенств, получаем
2ⁿa₁a₂... a_n = (a₁ + a₂)...(a_n–1 + a_n)(a_n + a₁).  Но по неравенству Коши     Поэтому из полученного равенства следует, что все углы многоугольников равны, а так как многоугольник B₁...B_n – вписанный, то многоугольники правильные.

Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2007
тур
задача
Номер	7