Задача 115857

Темы:    [ Формулы для площади треугольника ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Пусть a, b, c – длины сторон произвольного треугольника; p – полупериметр; r – радиус вписанной окружности. Докажите неравенство

Решение

Применив неравенство Коши, получаем, что левая часть не меньше чем     (R – радиус описанной окружности, S – площадь, см. задачи 108568, 52787, 54784). Поскольку  R ≥ 2r  (см. задачу 55233), отсюда следует искомое неравенство.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Класс
Класс	10
задача
Номер	10.1