ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 115859
УсловиеРадиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC равны R и r; O, I – центры этих окружностей. Внешняя биссектриса угла C пересекает прямую AB в точке P. Точка Q – проекция точки P на прямую OI. Найдите расстояние OQ. РешениеПусть A', B', C' – центры вневписанных окружностей треугольника ABC. Тогда I – ортоцентр треугольника A'B'C', A, B, C – основания его высот и, значит, описанная окружность Ω треугольника ABC является окружностью Эйлера треугольника A'B'C'. Следовательно, радиус описанной окружности Ω' треугольника A'B'C' равен 2R, а её центром является точка O', симметричная I относительно O. Кроме того, точки A, B лежат на окружности с диаметром A'B'. Прямая AB является общей хордой этой окружности и окружности Ω, а внешняя биссектриса угла C – общей хордой этой окружности и окружности Ω'. Поэтому точка P является радикальным центром трёх окружностей, а прямая PQ – радикальной осью окружностей Ω и Ω' (так как она перпендикулярна к линии центров OO'). Следовательно, OQ2 – R2 = (OQ + OO')2 – 4R2. Поскольку O'O2 = OI2 = R2 – 2Rr (см. задачу 52464), получаем, что Ответ
Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|