ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115859
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Формула Эйлера ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC равны R и r; O, I – центры этих окружностей. Внешняя биссектриса угла C пересекает прямую AB в точке P. Точка Q – проекция точки P на прямую OI. Найдите расстояние OQ.


Решение

Пусть A', B', C' – центры вневписанных окружностей треугольника ABC. Тогда I – ортоцентр треугольника A'B'C', A, B, C – основания его высот и, значит, описанная окружность Ω треугольника ABC является окружностью Эйлера треугольника A'B'C'. Следовательно, радиус описанной окружности Ω' треугольника A'B'C' равен 2R, а её центром является точка O', симметричная I относительно O. Кроме того, точки A, B лежат на окружности с диаметром A'B'. Прямая AB является общей хордой этой окружности и окружности Ω, а внешняя биссектриса угла C – общей хордой этой окружности и окружности Ω'. Поэтому точка P является радикальным центром трёх окружностей, а прямая PQ – радикальной осью окружностей Ω и Ω' (так как она перпендикулярна к линии центров OO'). Следовательно,  OQ2R2 = (OQ + OO')2 – 4R2. Поскольку  O'O2 = OI2 = R2 – 2Rr  (см. задачу 52464), получаем, что  


Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2009
Класс
Класс 10
задача
Номер 10.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .