Задача 115867

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Средняя линия трапеции ] [ Признаки подобия ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Блинков А.Д.

Дан четырёхугольник ABCD. Оказалось, что описанная окружность треугольника ABC, касается стороны CD, а описанная окружность треугольника ACD касается стороны AB. Докажите, что диагональ AC меньше, чем расстояние между серединами сторон AB и CD.

Решение

Из условия следует, что  ∠BAC + ∠BCD = ∠ACD + ∠BAD = 180°.  Значит,  ∠BCA = ∠CAD,  то есть  AD || BC  и отрезок, соединяющий середины AB и CD, является средней линией трапеции и равен  ½ (AD + BC).  Кроме того, так как  ∠ACD = ∠ABC  и  ∠BAC = ∠CDA,  то ABCD – не параллелограмм, а треугольники ABC и DCA подобны. Следовательно,  AC² = AD·BC,  и утверждение задачи вытекает из неравенства Коши.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Тур
задача
Номер	11