|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC и точки X, Y, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть A1, B1, C1 – проекции X на BC, CA, AB, а A2, B2, C2 – проекции Y. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из A1, B1, C1 на, соответственно, B2C2, C2A2, A2B2, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда прямая XY проходит через центр Ω.
Решение
Пусть прямая XY проходит через центр O окружности Ω. Зафиксируем точку Y и будем двигать точку X по прямой OY. При этом перпендикуляры, опущенные из A1, B1, C1 на соответствующие стороны A2B2C2 перемещаются равномерно и
параллельно себе и, значит, точки их пересечения движутся по прямым. Когда точка X совпадает с Y или O, три перпендикуляра пересекаются в одной точке (в первом случае – в ортоцентре треугольника A2B2C2; во втором случае это следует из задачи 57173 а, так как перпендикуляры, опущенные из A2, B2, C2 на соответствующие стороны A1B1C1, пересекаются в точке Y). Следовательно, это выполняется для любого положения точки X.
Из предыдущего рассуждения следует, что для фиксированной точки
Y множество точек X, для которых перпендикуляры пересекаются
в одной точке, это либо прямая OY, либо вся плоскость. Предположим, что имеет место второй случай, и возьмем в качестве X точку C. Тогда точки A1, B1 совпадают с C, а CC1 – высота треугольника ABC. Так как три перпендикуляра пересекаются в одной точке, A2B2 || AB, то есть Y лежит на прямой OC. Взяв теперь в качестве X другую вершину треугольника, получим, что Y совпадает с O.
