Задача 115892

Темы:    [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Белухов Н.

В треугольнике ABC  ∠A = 57<°,  ∠B = 61°,  ∠C = 62°.  Какой из двух отрезков длиннее: биссектриса угла A или медиана, проведённая из вершины B?

Решение

  Пусть K – середина дуги ABC описанной окружности треугольника ABC, O – центр этой окружности; N – точка пересечения AL и CK, а AH – высота треугольника AKC (см. рис.). Так как  ∠A < ∠C,  то B лежит внутри дуги KC, значит, N лежит на отрезке AL, и  AL > AN > AH.  Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ.  AH > KM,  так как это высоты меньшего и большего углов треугольника AKC. Следовательно,  KM = MO + OK = MO + OB > MB.

  Второй способ. Так как  AB > BC,  то  ∠MBC > ½ ∠B > 30°.  Проведём перпендикуляр MP к стороне BC. Тогда  AL > AH = 2MP > BM.

Ответ

AL > BM.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Класс
Класс	8
задача
Номер	8.4