Задача 115895

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Прокопенко Д.

Вокруг треугольника ABC описали окружность Ω. Пусть L и W – точки пересечения биссектрисы угла A со стороной BC и окружностью Ω соответственно. Точка O – центр описанной окружности треугольника ACL. Восстановите треугольник ABC, если даны окружность Ω и точки W и O.

Решение

Пусть O' – центр Ω. Тогда прямые O'O и O'W перпендикулярны сторонам AC и BC, то есть направления этих сторон известны. Кроме того,
∠COL = 2∠CAL = 2∠LCW  и, значит,  ∠OCW = 90°  (см. рис.). Следовательно, C – точка пересечения окружности Ω и окружности с диаметром OW.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Класс
Класс	8
задача
Номер	8.7