Задача 116157

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Средняя линия трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Филипповский Г.Б.

B трапеции ABCD  AB = BC = CD,  CH – высота. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из H на AC, проходит через середину BD.

Решение

  Пусть BC – меньшее основание трапеции. Из равенства сторон трапеции следует равенство углов:  ∠CAD = ∠CAB = ∠BCA = ∠DBC = ∠CDB = ∠BDA.
  Далее можно рассуждать по-разному:

  Первый способ. Пусть M – основание перпендикуляра, опущенного из H на AC, а N – точка его пересечения с отрезком BD.

  Тогда  ∠MHC = 90° – ∠MCH = ∠CAH,  то есть четырёхугольник NHDC – вписанный. Следовательно,  ∠CND = ∠CHD = 90°,  то есть CN – высота равнобедренного треугольника BCD. Значит, N – середина BD.

  Второй способ. Пусть N – середина BD, M — основание перпендикуляра, опущенного из N на AC, а H – точка его пересечения с отрезком D, K – точка пересечения CN и AD.

  Точка N лежит на средней линии трапеции, следовательно,  CN = NK.  Учитывая, что  ∠NKH = 90°–∠BDA = 90° – ∠CAH = ∠NHK,  получим
CN = NK = NH,  то есть  ∠CHK = 90°,  что и требовалось.

  Третий способ. Пусть N и F – середины диагоналей BD и AC, прямая BF пересекает основание AD в точке E.

  Тогда  BF ⊥ AC,  то есть в треугольнике ABE отрезок AF является высотой и биссектрисой. Следовательно, ABCE – ромб. Треугольник ECD – равнобедренный, следовательно, H – середина ED.  HN || BE ⊥ AC  как средняя линия треугольника BDE.

Замечания

Для случая, когда BC – большее основание, доказательство аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	09 (2011 год)
Дата	2011-04-10
класс
Класс	8-9 класс
задача
Номер	4