ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116218
Темы:    [ Две пары подобных треугольников ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Трапеции (прочее) ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC лучи AB и DC пересекаются в точке K. Точки P и Q – центры описанных окружностей треугольников ABD и BCD. Докажите, что  ∠PKA = ∠QKD.


Решение

Заметим, что  ∠ADB = ∠DBC  (см. рис.). С другой стороны,  ∠APB = 2∠ADB.  Аналогично  ∠DQC = 2∠DBC, а значит,   ∠APB = ∠DQC.

Следовательно, равнобедренные треугольники APB и DQC подобны. Поэтому  ∠KAP = ∠KDQ  и  AP : DQ = AB : DC.  Вместе с тем из теоремы о пропорциональных отрезках  AK : DK = AB : DC,  поэтому треугольники APK и DQK подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
PKA = ∠QKD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2011
Номер 74
класс
Класс 9
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .