Задача 116263
|
|
 |
Условие
По кругу написаны все целые числа от 1 по 2010 в таком порядке, что при движении по часовой стрелке числа поочередно то возрастают, то убывают.
Докажите, что разность каких-то двух чисел, стоящих рядом, чётна.
Решение
Пусть все разности рядом стоящих чисел нечётны. Тогда чётные и нечётные числа по кругу чередуются. Но это значит, что либо каждое чётное число больше обоих соседних нечётных, либо каждое чётное число меньше обоих соседних нечётных. В первом случае не найдётся места для числа 2, а во втором – для числа 2010. Противоречие.
Замечания
1. См. также задачу М2229 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2011, №4).
2. 3 балла.
