ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116271
Темы:    [ Пятиугольники ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Четыре перпендикуляра, опущенные из вершин выпуклого пятиугольника на противоположные стороны, пересекаются в одной точке.
Докажите, что пятый такой перпендикуляр тоже проходит через эту точку.


Решение

Пусть O – точка пересечения перпендикуляров, опущенных из вершин A, B, C и D пятиугольника ABCDE на противолежащие стороны. Нетрудно убедиться, что точка O не может совпадать с вершиной пятиугольника. Пусть  OACD.  Тогда    , то есть    .   Аналогично из  OBDE,  OCEA,  ODAB  получаем равенства    ,    ,    .   Но тогда и    ,   то есть    .   Значит,  OEBC.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2010/2011
Номер 32
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .