ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116284
Темы:    [ Трапеции (прочее) ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Ивлев Ф.

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD являются соответственно хордами окружностей ω1 и ω2, касающихся друг друга внешним образом. Градусные меры касающихся дуг AB и CD равны α и β. Окружности ω3 и ω4 также имеют хорды AB и CD соответственно. Их дуги AB и CD, расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей, имеют градусные меры β и α. Докажите, что ω3 и ω4 тоже касаются.


Решение 1

  Пусть O – точка пересечения прямых AB и CD, Ω1 и Ω2 – окружности, симметричные ω1 и ω2 относительно биссектрисы угла AOD. Рассмотрим окружности Ω4 и Ω3, полученные из Ω1 и Ω2 инверсией относительно окружности с центром O и радиусом     Они, очевидно, касаются. При этом Ω4 проходит через точки C и D и может быть получена из Ω1 не только инверсией, но и гомотетией с центром O и коэффициентом  OD : OA = OC : OB.  Поэтому градусная мера дуги CD в Ω4 равна α. Следовательно, Ω4 совпадает с ω4. Аналогично Ω3 совпадает с ω3.


Решение 2

  Лемма. Пусть точка M лежит между основаниями BC и AD трапеции ABCD по ту же сторону от CD, что и точка A. Тогда  ∠CMD = ∠BCM + ∠ADM.
  Доказательство очевидно из левого рисунка.

         
  Обозначим через P точку касания окружностей ω1 и ω2, а через Q – вторую точку пересечения описанных окружностей треугольников BCP и ADP (рис. справа).  ∠APB = ∠APQ + ∠BPQ = ∠ADQ + ∠BCQ = ∠CQD  (по лемме). Следовательно, точка Q лежит на ω4. Аналогично доказывается, что она лежит и на ω3.
  Углы между хордами BP и CP и общей касательной к ω1 и ω2 равны соответственно углам BAP и CDP. Поэтому  ∠BAP + ∠CDP = ∠BPC.  Отсюда
BAQ + ∠CDQ = ∠BAD + ∠CDA – (∠QAD + ∠QDA) = ∠BAD + ∠CDA + ∠AQD – 180° = ∠BAD + ∠CDA + ∠APD – 180° =
= ∠BAP + ∠CDP = ∠BPC = ∠BQC.
  Следовательно, через точку Q можно провести прямую, составляющую с BQ и CQ углы, соответственно равные углам BAQ и CDQ. Она и будет общей касательной к ω3 и ω4 в точке Q.

  Замечание. Детали доказательства, разумеется, зависят от взаимного расположения прямых и окружностей. Разбор остальных случаев предоставляется читателю.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2010/2011
Номер 32
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .