Задача 116334

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема синусов ] [ Площадь четырехугольника ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

В остроугольном треугольнике ABC  (AB < BC)  проведены высоты AM и CN. Точка O – центр описанной окружности треугольника ABC. Известно, что ∠ABC = β,  а площадь четырёхугольника NOMB равна S. Найдите сторону AC.

Решение

  На касательной к описанной окружности данного треугольника отметим точку P так, чтобы она и точка C лежали по разные стороны от прямой AB. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что  ∠ABP = ∠C = ∠BNM,  поэтому  BP || MN,  а так как  OB ⊥ BP,  то  OB ⊥ MN.  Треугольник BMN подобен треугольнику BAC с коэффициентом cos β, значит,  MN = AC cos β.

  Пусть  OB = R  – радиус описанной окружности треугольника ABC. Тогда     Следовательно,  S = ½ MN·OB = ¼ AC² ctg β.  Отсюда  AC² = 4S tg β.

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	458