Задача 116343

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки подобия ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема косинусов ] [ Теорема синусов ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Точки A₁, B₁ и C₁ – основания высот треугольника ABC. Известно, что  A₁B₁ = 13,  B₁C₁ = 14,  A₁C₁ = 15.  Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

  Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC; A₂, B₂, C₂ – точки пересечения продолжений высот AA₁, BB₁, CC₁ соответственно с описанной окружностью Ω треугольника ABC. Тогда A₁, B₁, C₁ – середины отрезков HA₂, HB₂, HC₂ (см. задачу 55463). Значит, A₁B₁, B₁C₁, A₁C₁ – средние линии треугольников A₂HB₂, B₂HC₂, A₂HC₂, поэтому стороны треугольника A₂B₂C₂ соответственно параллельны сторонами треугольника A₁B₁C₁. Следовательно, треугольник A₂B₂C₂ подобен треугольнику A₁B₁C₁ с коэффициентом 2. Поэтому  A₂B₂ = 2A₁B₁ = 26,  B₂C₂ = 2B₁C₁ = 28,
A₂C₂ = 2A₁C₁ = 30.
  Пусть O – центр Ω, R – её радиус. Обозначим  ∠A₂B₂C₂ = ∠A₁B₁C₁ = β.  Из треугольника A₁B₁C₁ по теореме косинусов находим, что  
  Значит,     (поскольку Ω – описанная окружность треугольника A₂B₂C₂).
  Радиусы OA₂, OB₂, OC₂ перпендикулярны отрезкам B₁C₁, A₁C₁, A₁B₁ соответственно (см. решение задачи 116334). Следовательно,
S_ABC = S_AB1OC1 + S_BA1OC1 + S_CA1OB1 = ½ B₁C₁·OA + ½ A₁C₁·OB + ½ A₁B₁·OC = ½ (B₁C₁ + A₁C₁ + A₁B₁)R = ½ (14 + 15 + 16)·⁶⁴/₄ = ¹³⁶⁵/₄.

Ответ

¹³⁶⁵/₄.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2921