|
|
 |
Условие
На плоскости даны 10 прямых общего положения. При каждой точке пересечения выбирается наименьший угол, образованный проходящими через неё прямыми. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих углов.
Решение
Пример. Рассмотрим пять пар взаимно перпендикулярных прямых. Тогда сумма углов любой прямой с каждой из "чужих" пар равна 90°, плюс 90° со своей прямой, итого – 5∙90°. Поэтому общая сумма углов равна 10∙5∙90° : 2 (мы посчитали угол между каждыми двумя прямыми дважды).
Оценка. Сумма углов не изменится, если все прямые параллельно перенести так, чтобы они пересекались в одной точке. Разобьём их на пары так, чтобы при повороте по часовой стрелке от одной прямой пары до другой заметалось ровно четыре прямые. Раскрасим каждую пару в свой цвет. Рассмотрим "синюю" и "красную" пары. Красные прямые делят каждый из двух смежных углов между синими прямыми на две части, сумма четырёх частей равна 180°. Части соответствуют четырём парам типа синяя-красная, наименьшие углы в таких парах не больше этих частей, поэтому сумма всех сине-красных углов не больше 180°. У нас есть 10 пар цветов, поэтому сумма разноцветных углов не больше 10∙180° = 20∙90°. Каждый из пяти одноцветных углов тоже не больше 90°.
Ответ
25·90° = 2250°.Замечания
1. См. также задачу М2249 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2012, №1).
2. 5 баллов.
