Задача 116452

Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Фольклор

Существует ли треугольник с вершинами в узлах сетки, у которого центры вписанной и описанной окружностей, точки пересечения высот и медиан также лежат в узлах сетки?

Решение

  Расположим вершины прямоугольного треугольника АВС в точках  А(18, 0),  В(0, 24),  C(0, 0)  (его стороны в 6 раз больше сторон египетского треугольника). Точка пересечения его высот совпадает с вершиной С. Центр описанной окружности – середина АВ – имеет координаты  (9, 12).  Радиус r вписанной окружности равен  ½ (a + b + c) = 6  (см. задачу 56656), а её центр имеет координаты  (r, r).  Координаты точки пересечения медиан являются средним арифметическим координат вершин, то есть равны  (6, 8).

Ответ

Существует.

Замечания

Есть и принципиально другие примеры.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
класс
	1
Класс	9
задача
Номер	9.3.2