Задача 116493

Темы:    [ Синусы и косинусы углов треугольника ] [ Системы тригонометрических уравнений и неравенств ]

Сложность: 2+ Классы: 10,11

Условие

Про углы треугольника ABC известно, что      и    .   Найдите величину угла C.

Решение

Первый способ. Возведём оба равенства в квадрат и сложим. Получим  4 = 2 + 2 (sin A cos B + cos A sin B) = 2 + 2 sin (A + B).  Следовательно,
sin (A + B) = 1,  то есть  A + B = 90°.

Второй способ. Сложив исходные равенства, получим  sin (A + 45°) + sin (B + 45°) = 2,  откуда  sin (A + 45°) = sin (B + 45°) = 1.
Следовательно,  A = B = 45°.  Значит,  C = 90°.

Третий способ. Перемножив исходные равенства, получим  sin 2A + sin 2B + 2 cos (A – B) = 4,  откуда  sin 2A = sin 2B = cos (A – B) = 1,  то есть
 A = B = 45°.

Ответ

90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2011
Класс
Класс	11
Задача
Номер	11.1