Задача 116540
|
|
 |
Условие
Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Верно ли, что все числа равны?
Решение
Вот контрпример: ⅓, ⅓, ⅔.
Ответ
Неверно.
Замечания
Идеология. Из условия получаем систему: a² – a = b² – b = c² – c. Первое равенство приводится к виду (a – b)(a + b – 1) = 0. Значит, оно выполнено не только при a = b, но и при b = 1 – a; аналогичные утверждения верны для остальных пар чисел. Итак, кроме троек из равных чисел, подходят все тройки вида {a, a, 1 – a} и только они.
