Задача 116544

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Подлипский О.К.

Найдите все такие числа a, что для любого натурального n число  an(n + 2)(n + 4)  будет целым.

Решение

  Подставив  n = 1  и  n = 2,  получаем, что числа 15a и 48a – целые. Значит, и число  48a – 3·15a = 3a  – тоже целое. Таким образом,  a = ^k/₃  для некоторого целого k.
  Осталось показать, что все числа такого вида подходят. Действительно, одно из трёх последовательных чётных (или нечётных) чисел
n,  n + 2,  n + 4  делится на 3; значит,  n(n + 2)(n + 4)  делится на 3, а поэтому  an(n + 2)(n + 4) = ⅓ kn(n + 2)(n + 4)  – целое число.

Ответ

a = ^k/₃,  где k – любое целое число.

Замечания

Ср. с задачей 116559.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2010-2011
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	9
Задача
Номер	9.5