ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 116547
УсловиеПрямую палку длиной 2 метра распилили на N палочек, длина каждой из которых выражается целым числом сантиметров. При каком наименьшем N можно гарантировать, что, использовав все получившиеся палочки, можно, не ломая их, сложить контур некоторого прямоугольника? Решение Пусть N ≤ 101. Распилим палку на N – 1 палочку длиной 1 см и одну палочку длиной 201 – N см. Из полученного набора невозможно сложить прямоугольник, так как каждая из сторон прямоугольника меньше полупериметра и, следовательно, палочка длины 201 – N ≥ 100 см не может быть частью никакой стороны. Таким образом, N ≥ 102. Первый способ. Заметим, что среди всех палочек найдутся две длиной по 1 см. В самом деле, если бы это было не так, то суммарная длина палочек была бы не меньше 2·101 + 1 = 203 см. Второй способ. Обозначим длины палочек набора через a1, a2, ..., a102. Рассмотрим окружность длины 200 и разобьём её 102 красными точками на дуги длины a1, a2, ..., a102. Эти точки являются некоторыми 102 вершинами правильного 200-угольника T, вписанного в эту окружность. Вершины T разбиваются на пары противоположных. Таких пар 100, а красных точек – 102, значит, среди красных точек найдутся две пары противоположных. Третий способ. Пусть l ≥ 2 – наибольшая среди длин всех палочек, а x – количество палочек длины 1. Тогда кроме этих x палочек и палочки длины l имеется 101 – x палочек, длина каждой из которых не меньше 2. Отсюда l + x + 2(101 – x) ≤ 200, то есть x ≥ l + 2. Итак, имеется по крайней мере ОтветПри N = 102. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|