Задача 116556

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямые, лучи, отрезки и углы (прочее) ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 3- Классы: 9,10

Условие

Автор: Емельянова Т.

На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбраны точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABM, ABK, CBM и CBK лежат на одной окружности.

Решение

  Без ограничения общности можно считать, что точка M лежит между A и K. Пусть O₁, O₂, O₃ и O₄ – центры описанных окружностей треугольников ABM, ABK, CBM и CBK соответственно. Прямые O₁O₃ и O₁O₂ являются соответственно серединными перпендикулярами к отрезкам BM и AB. Значит, углы O₂O₁O₃ и ABM равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

  Аналогично  ∠O₂O₄O₃ = ∠CBK,  а значит,  ∠O₂O₄O₃ = ∠O₂O₁O₃.  Это и означает, что точки O₁, O₂, O₃, O₄ лежат на одной окружности.

Замечания

Точка пересечения прямых O₁O₂ и O₃O₄ – центр O описанной окружности треугольника ABC, причём точки O₂ и O₃ лежат соответственно на отрезках OO₁ и OO₄. Это позволяет обосновать расположение точек на рисунке.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2010-2011
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
Задача
Номер	10.2