|
|
 |
Условие
Найдите все такие числа a, что для любого натурального n число an(n + 2)(n + 3)(n + 4) будет целым.
Решение
Подставив n = 1, n = 3 и n = 4, получаем, что числа 2²·3·5a, 2·3²·5·7a и 26·3·7a – целые. Значит, a –
рациональное число, имеющее несократимую запись p/q, где q является делителем числа НОД(2²·3·5,
2·3²·5·7, 26·3·7) = 6. Итак, a = k/6 при некотором целом k.
Осталось показать, что все числа такого вида подходят. Действительно, одно из трёх последовательных чисел n + 2, n + 3, n + 4 делится на 3, а одно из последовательных чисел n + 2, n + 3 делится на 2; значит, n(n + 2)(n + 3)(n + 4) делится на 6. Поэтому
an(n + 2)(n + 3)(n + 4) = ⅙ kn(n + 2)(n + 3)(n + 4) – целое число.
Ответ
a = k/6, где k – любое целое число.
Замечания
1. Согласно задаче 61451 многочлен ax(x + 2)(x + 3)(x + 4) принимает целые значения не только при всех натуральных, но и при всех
целых x. Подставляя x = –1, сразу получаем, что 6a – целое число.
2. Ср. с задачей 116544.
