Задача 116561

Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC точки C₀ и B₀ – середины сторон AB и AC соответственно, O – центр описанной окружности, H – точка пересечения высот. Прямые BH и OC₀ пересекаются в точке P, а прямые CH и OB₀ – в точке Q. Оказалось, что четырёхугольник OPHQ – ромб. Докажите, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.

Решение 1

  Пусть BB' и CC' – высоты треугольника. Так как OB₀ и OC₀ – серединные перпендикуляры к сторонам AC и AB, то отрезки B'B₀ и C'C₀ равны высотам ромба OPHQ. Значит,  B'B₀ = C'C₀.  Но эти отрезки являются проекциями отрезка OH на прямые AB и AC, поэтому, OH составляет равные углы с этими прямыми. Это означает, что прямая OH параллельна либо внутренней, либо внешней биссектрисе угла BAC.
  Так как  ∠AOC = 2∠B,  то  ∠CAO = 90° – ∠B = ∠BAH.  Это значит, что лучи AO и AH симметричны относительно биссектрисы l угла A. Поэтому OH пересекает l и не может быть ей параллельна. Итак, l перпендикулярна OH, то есть является биссектрисой и высотой треугольника AOH. Отсюда
AH = AO,  и точка A, как и точки P, Q, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку OH.

Решение 2

  Положим  a = BC,  b = CA,  c = AB,  α = ∠A;  тогда  AB' = c cos α,  AC' = b cos α.  Как и выше,  B'B₀ = C'C₀,  откуда  |AB₀ – AB'| = |AC₀ – AC'|,  или
|b – 2c cos α| = |c – 2b cos α|.
  Рассмотрим два случая.
  1)  b – 2c cos α = c – 2b cos α.  Тогда  (b – c)(1 + 2 cos α) = 0.  По условию cosα > 0 и, значит, b = c, что противоречит условию.
  2)  b – 2c cos α > 0,  c – 2b cos α < 0  (геометрически это означает, что точка B' лежит между A и B₀, а точка C₀ – между A и C', см. рис.). Тогда
b – 2c cos α = 2b cos α – c,  или  (b + c)(1 – 2 cos α) = 0.  Таким образом,  α = 60°,  AC' = b cos α = AB₀.  Значит, точки B₀ и C' симметричны относительно биссектрисы l угла A. Тогда прямые OB₀ и CC' также симметричны, и их точка пересечения Q лежит на l. Аналогично точка P лежит на l.

Замечания

Остроугольность треугольника несущественна: из решения 2 ясно, что параллелограмм OPHQ является ромбом, только когда  ∠BAC = 60°  или
∠BAC = 120°.  В последнем случае точки A, P и Q также лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2010-2011
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
Задача
Номер	10.7