Задача 116569

Темы:    [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Правильные многоугольники ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Вася нарисовал на плоскости несколько окружностей и провёл всевозможные общие касательные к каждой паре этих окружностей. Оказалось, что проведённые прямые содержат все стороны некоторого правильного 2011-угольника. Какое наименьшее количество окружностей мог нарисовать Вася?

Решение

  Обозначим полученный правильный 2011-угольник через M, его вершины (по часовой стрелке) – через  X₁, X₂, ..., X₂₀₁₁,  его вписанную окружность через ω, а его центр – через O. Назовём прямые, содержащие стороны многоугольника, выделенными.
  Заметим, что для любых пяти последовательных вершин A, B, C, D, E многоугольника M существует окружность, отличная от ω, касающаяся прямых AB, BC, CD и DE.

  Действительно, вершины A и E, а также B и D симметричны относительно прямой CO. Тогда точка пересечения внешней биссектрисы угла ABC с прямой CO отлична от O и равноудалена от прямых AB, BC, CD и DE, а значит, является центром искомой окружности.
  Если Вася нарисует 503 такие окружности для точек  (X₁, X₂, X₃, X₄, X₅),  (X₅, X₆, X₇, X₈,  X₉),  ...,  (X₂₀₀₉, X₂₀₁₀, X₂₀₁₁, X₁, X₂),  а также окружность ω, то любая выделенная прямая будет общей касательной к двум проведённым окружностям. Итак, 504 окружностей достаточно.
  Осталось доказать, что окружностей должно быть не менее 504. Каждой выделенной прямой должны касаться хотя бы две окружности. Окружность ω касается всех 2011 этих прямых. У каждой другой окружности есть не более четырёх общих касательных с ω, значит, она касается не более четырёх выделенных прямых. Итак, если окружностей n, то всего происходит не более чем  2011 + 4(n – 1)  касаний окружности с выделенными прямыми; с другой стороны, их должно быть не меньше  2011·2 = 4022.  Итак,  2011 + 4(n – 1) ≥ 2·2011,  откуда  n ≥ 2011 : 4 + 1 > 503.

Ответ

504 окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2010-2011
Этап
Вариант	4
класс
Класс	11
Задача
Номер	11.7