Задача 116572

Темы:    [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Шестиугольники ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Докажите, что диагонали AD, BE, CF вписанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке в каждом из следующих случаев:
  а)  AB = BC,  CD = DE,  EF = FA;
  б)  AB = BC,  CD = FA,  EF = DE;
  в)  AB = DE,  CD = FA,  EF = BC.

Решение 1

  а) Прямые AD, BE, CF являются биссектрисами углов треугольника ACE.
  б) Это следует из симметрии картинки относительно прямой BE.
  в) Легко видеть, что  AC || DF,  AE || BD  и  CE || BF.  Поэтому наше утверждение – частный случай теоремы Дезарга (для треугольников ACE и DFB)  (см. задачу 56907).

Решение 2

Все три утверждения немедленно следуют из теоремы Чевы для вписанного шестиугольника (см. задачу 35216).