Задача 116600

Темы:    [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Сочетания и размещения ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

В волейбольном турнире с участием 73 команд каждая команда сыграла с каждой по одному разу. В конце турнира все команды разделили на две непустые группы так, что каждая команда первой группы одержала ровно n побед, а каждая команда второй группы – ровно m побед. Могло ли оказаться, что  m ≠ n?

Решение

Всего в турнире с участием 73 команд проводится  73·72 : 2  игр. Пусть x команд одержали по n побед, а остальные  73 – x  команд – по m побед. Тогда
xn + (73 – x)m = 36·73,  откуда  x(n – m)  кратно 73. Число 73 – простое, поэтому на него делится либо x, либо  n – m.  Первое невозможно, так как
x < 73.  А второе возможно только при  m = n  (так как и m и n меньше 73).

Ответ

Не могло.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2011-2012
Этап
Вариант	4
класс
Класс	11
Задача
Номер	11.6