Задача 116607

Темы:    [ Ребусы ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7

Условие

Автор: Раскина И.В.

Замените в равенстве   ПИРОГ = КУСОК + КУСОК + КУСОК + ... + КУСОК   одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные – разными так, чтобы равенство было верным, а количество "кусков пирога" было бы наибольшим из возможных.

Решение

  Пусть "кусков" 8 или 9.  ПИРОГ ≤ 98765,  следовательно,  КУСОК ≤ 98765 : 8 < 12346. С другой стороны,  КУСОК ≥ 12341.  Остается единственный случай  КУСОК = 12341,  а "кусков" 8. Но  12341·8 = 98728  – не подходит. Отсюда видно, что "кусков" не больше семи.
  Один из возможных примеров для семи "кусков" нетрудно найти подбором. Покажем, как найти все возможные ответы.
  Ясно, что  К = 1,  тогда  Г = 7.  Значит,  П = 8 или 9,  а  О = 0 или 5.
  Пусть  П = 8.  Тогда  80234 ≤ ПИРОГ ≤ 86547,  значит,  11462 < 80234 : 7 ≤ КУСОК ≤ 86547 : 7 < 12363.  Учитывая возможные значения букв,
12051 ≤ КУСОК ≤ 12351.  Итак, есть три варианта: 12051, 12301 и 12351. Из них подходят только первый и последний.
  Пусть  П = 9.  Аналогичные оценки показывают, что  13051 ≤ КУСОК ≤ 14051.  Имеются 11 вариантов: 13051, 13201, 13251, 13401, 13451, 13501, 13601, 13651, 13801, 13851, 14051. Из них подходят два: 13601 и 14051.

Ответ

4 варианта:  84357 = 7·12051,  86457 = 7·12351,  95207 = 7·13601,  98357 = 7·14051.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	2012
Класс
Класс	6
задача
Номер	5