ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 116631
УсловиеДан остроугольный треугольник ABC. Окружность, проходящая через вершину B и центр O его описанной окружности, вторично пересекает стороны BC и BA в точках P и Q соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника POQ лежит на прямой AC. Решение Обозначим ∠OBA = ∠OAB = α, ∠OBC = ∠OCB = γ; тогда ∠ACB = ½ ∠AOB = 90° – α. Поскольку четырёхугольник BPOQ вписан, ∠OPQ = α и Угол POH – внешний угол треугольника POO1, поэтому ∠POH = 90° + α = 180° – ∠HCP. Значит, четырёхугольник CHOP вписан, и ∠PHO = ∠PCO = γ. Пусть P1 – точка пересечения прямых OQ и PH. Вновь по свойству внешних углов ∠QP1H = ∠QPH + ∠PQO = ∠QPH + ∠PHO1 = ∠HO1Q = 90°. Итак, PH ⊥ OQ, то есть H – ортоцентр треугольника OPQ. ЗамечанияНетрудно показать, что треугольники ABC и PHQ подобны. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|