ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116631
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан остроугольный треугольник ABC. Окружность, проходящая через вершину B и центр O его описанной окружности, вторично пересекает стороны BC и BA в точках P и Q соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника POQ лежит на прямой AC.


Решение

   Обозначим  ∠OBA = ∠OAB = α,  ∠OBC = ∠OCB = γ;  тогда  ∠ACB = ½ ∠AOB = 90° – α.  Поскольку четырёхугольник BPOQ вписан,  ∠OPQ = α  и
OQP = γ.  Пусть OO1 – высота треугольника OPQ, а H – точка пересечения прямых OO1 и AC. Без ограничения общности можно считать, точка H лежит на луче CA.


   Угол POH – внешний угол треугольника POO1, поэтому  ∠POH = 90° + α = 180° – ∠HCP.  Значит, четырёхугольник CHOP вписан, и
PHO = ∠PCO = γ.  Пусть P1 – точка пересечения прямых OQ и PH. Вновь по свойству внешних углов
QP1H = ∠QPH + ∠PQO = ∠QPH + ∠PHO1 = ∠HO1Q = 90°.  Итак,  PHOQ,  то есть H – ортоцентр треугольника OPQ.

Замечания

Нетрудно показать, что треугольники ABC и PHQ подобны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2010-2011
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
Задача
Номер 9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .