|
|
 |
Условие
Даны 10 попарно различных чисел. Для каждой пары данных чисел Вася записал у себя в тетради квадрат их разности, а Петя записал у себя в тетради модуль разности их квадратов. Могли ли в тетрадях у мальчиков получиться одинаковые наборы из 45 чисел?
Решение
Если среди исходных чисел есть ноль, вычеркнем его. При этом из обеих тетрадок "исчезнет" по 9 чисел. Эти наборы из девяти чисел одинаковы:
a² – 0² = (a – 0)², поэтому достаточно доказать, что оставшиеся наборы (из 45 или 36 чисел) различны.
Пусть среди (оставшихся) исходных чисел есть числа разных знаков. Рассмотрим минимальное и максимальное из них: a < 0 < b. Тогда в тетради Васи присутствует число (b – a)², которое больше как a², так и b²; у Пети же любое число не превосходит max {a², b²}. Противоречие.
Пусть все числа – одного знака, например, положительны. Опять обозначив через a и b соответственно минимальное и максимальное из этих чисел, имеем b² – a² = (b – a)(b + a) > (b – a)² ≥ (c – d)², где c и d – произвольные два исходных числа. Таким образом, число b² – a² встретится в тетради Пети, но не встретится у Васи.
Ответ
Не могли.
