Задача 116643

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Полянский А.

Дан остроугольный треугольник ABC. На продолжениях BB₁ и CC₁ его высот за точки B₁ и C₁ выбраны соответственно точки P и Q так, что угол PAQ – прямой. Пусть AF – высота треугольника APQ. Докажите, что угол BFC – прямой.

Решение

  Точки B₁ и C₁ лежат на окружности, построенной на BC как на диаметре (см. рис.). Для решения достаточно доказать, что F также лежит на этой окружности.

  Точки B₁ и F лежат на окружности с диаметром AP. Поэтому  ∠PFB₁ = ∠PAB₁.  Аналогично  ∠QFC₁ = ∠QAC₁.  Имеем
180° – ∠B₁FC₁ = ∠PFB₁ + ∠QFC₁ = ∠PAB₁ + ∠QAC₁ = ∠PAQ – ∠A = 90° – ∠A = ∠B₁CC₁.
  Таким образом, четырёхугольник CB₁FC₁ – вписанный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2010-2011
Этап
Вариант	5
класс
Класс	10
Задача
Номер	10.6