|
|
 |
Условие
На доске написаны четыре трёхзначных числа, в сумме дающие 2012. Для записи их всех были использованы только две различные цифры.
Приведите пример таких чисел.
Решение
Первый способ. 2012 = 503 + 503 + 503 + 503. Заменив ноль пятёркой, мы увеличим сумму на 200; для компенсации заменим одну из пятёрок в разряде сотен на тройку: 2012 = 353 + 553 + 553 + 553.
Второй способ. Попытаемся найти два числа, записывающихся двумя цифрами и в сумме дающих 2012 : 2 = 1006. Из разряда десятков должен происходить перенос, поэтому сумма цифр в разряде сотен без этого переноса должна равняться 9. Значит, в этом разряде присутствуют обе неизвестные цифры, и их сумма равна 9. С другой стороны, сумма цифр в разряде единиц оканчивается на 6. Поэтому либо эта сумма равна 6 и получена как 3 + 3 при второй цифре 6 (но тогда мы не сможем получить сумму 10 в разряде десятков), либо равна 16 и получена как 8 + 8 при второй цифре 1. Отсюда получаем представления 1006 = 118 + 888 = 188 + 818;
2012 = 118 + 888 + 118 + 888 = 188 + 818 + 188 + 818 = 118 + 888 + 188 + 818.
Ответ
2012 = 353 + 553 + 553 + 553 = 118 + 118 + 888 + 888 = 118 + 188 + 818 + 888 = 188 + 188 + 818 + 818.
Замечания
Полное решение. Пусть в записи наших чисел использовались цифры a и b, причём a < b. Вычтем из каждого из наших чисел число 111a. Получившиеся числа будут состоять тоже только из двух цифр - 0 и c = b – a. Тем самым, их можно представить как произведение c на число, записывающееся только цифрами 0 и 1. Сумма получившихся чисел равна 2012 – 444·a; деля эту сумму на c, мы видим, что каждая цифра частного не превосходит 4. Теперь решение можно найти перебором: подходят только пары a = 3, c = 2 (q = 340, b = 5) и a = 1, c = 7
(q = 224, b = 8). Всевозможными способами расставляя по разрядам найденные цифры в задаваемом q количестве, мы приходим к четырём указанным в ответе представлениям.
