Задача 116683
|
|
 |
Условие
На доске написано несколько натуральных чисел. Сумма любых двух из них – натуральная степень двойки.
Какое наибольшее число различных может быть среди чисел на доске?
Решение
Пусть a – наибольшее из чисел на доске. Оно находится между
какими-то степенями двойки: 2n ≤ a < 2n+1. Прибавив к a какое-нибудь другое из написанных чисел b, получим степень двойки a + b, для которой 2n < a + b ≤ 2a < 2n+2. Значит, a + b = 2n+1. Итак, все остальные числа равны
2n+1 – a, то есть различных среди написанных чисел не более двух. А два числа могут быть, например, 1 и 3.
Ответ
Два числа.
Замечания
баллы: 8-9 кл. – 4, 10-11 кл. – 3
