Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64719

Тема:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c принимает в точках ¹/_a и c значения разных знаков.
Докажите, что корни трёхчлена  f(x) имеют разные знаки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116576

Тема:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

На плоскости даны шесть точек. Известно, что их можно разбить на две тройки так, что получатся два треугольника. Всегда ли можно разбить эти точки на две тройки так, чтобы получились два треугольника, которые не имеют друг с другом никаких общих точек (ни внутри, ни на границе)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116683

Тема:   [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

На доске написано несколько натуральных чисел. Сумма любых двух из них – натуральная степень двойки.
Какое наибольшее число различных может быть среди чисел на доске?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116818

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Пусть C(n) – количество различных простых делителей числа n. (Например,  C(10) = 2,  C(11) = 1,  C(12) = 2.)
Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел  (a, b),  что  a ≠ b  и  C(a + b) = C(a) + C(b)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 117016

Темы:   [ Произвольные многоугольники ] [ Степень вершины ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 3 Классы: 5,6,7

Можно ли нарисовать 1006 различных 2012-угольников, у которых все вершины общие, но при этом ни у каких двух нет ни одной общей стороны?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями