Задача 116725

Темы:    [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

Внутри круга отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что их можно разбить на пары и провести прямую через каждую пару так, чтобы все точки пересечения прямых были в круге.

Решение

Разобьём точки на пары так, чтобы сумма длин соответствующих отрезков была максимальной. Допустим, для пар точек  (A, B)  и  (C, D)  прямые AB и CD пересекаются вне круга (см. рис.).

Тогда четырёхугольник ABCD – выпуклый,  AC + BD > AB + CD  (см. задачу 55152), то есть, разбив на пары по-другому, мы получили бы большую сумму длин отрезков. Противоречие.

Замечания

1. См. также задачу М2271 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2012, №4).
2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2011/2012
Номер	33
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	2