|
|
 |
Условие
В выпуклом пятиугольнике ABCDE: ∠A = ∠C = 90°, AB = AE, BC = CD, AC = 1. Найдите площадь пятиугольника.
Решение 1
Пусть AB = AE = a, CB = CD = b, ∠ABC = α. Тогда ,
, ∠EBD = α – 90° (рис. слева).
Но по теореме косинусов a² + b² – 2ab cos α = AC² = 1. То есть SABCDE = 0,5.
Решение 2
∠B + ∠E + ∠D = 360°. Следовательно, на отрезке AC найдётся такая точка X, что углы ABX и CBX дополняют до 180° углы E и D соответственно (рис. в центре). Повернём треугольники ABX и CBX на –90° и 90° относительно вершин A и C соответственно. Пусть точки Y и Z – образы точки X при этих поворотах. Тогда YACZ – прямоугольная трапеция, в которой высота AC равна 1 и сумма оснований AY + CZ = AC = 1. Следовательно,
SABCD = SYACZ = 0,5.
Решение 3
Рассмотрим точку K, симметричную точке B относительно AC (рис. справа). Тогда треугольники KAE и KCD равнобедренные, и подсчёт углов показывает, что ∠EKD = 90°.
Пусть M – середина стороны DE. Тогда MK = ME, и значит, треугольники AKM и AEM равны. По той же причине равны треугольники CKM и CDM. Поэтому SABCDE = 2SAMC.
∠MAC = ½ ∠EAD = 45╟, аналогично ∠MCA = 45╟, то есть треугольник AMC – прямоугольный равнобедренный с гипотенузой 1. Cледовательно, SAMC = 0,25, а SABCDE = 0,5.
