Задача 116758

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Симметрические многочлены ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Положительные действительные числа    a₁, ..., a_n  и k таковы, что  a₁ + ... + a_n = 3k,     и    .
Докажите, что какие-то два из чисел  a₁, ..., a_n  отличаются больше чем на 1.

Решение

  По условию

= a₁a²(a₁ – a₂)² + ... + a_n–1a_n(a_n–1 – a_n)² > 9k⁴ + 3k² – 9k⁴ = 3k².
  Если все разности наших чисел не больше 1, то  a₁a₂ + a₁a₃ + ... + a_n–1a_n > 3k².  Но     Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2011-2012
Этап
Вариант	5
класс
Класс	9
Задача
Номер	9.4