|
|
 |
Условие
Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, большие 1010, что их произведение делится на любое из них, увеличенное на 2012?
Решение 1
Выберем некоторое t > 1010 и положим a = b = 2012t, c = 2012(t² – 1). c делится на 2012(t + 1) = a + 2012 = b + 2012, и ab = 2012²t² делится на 2012t² = c + 2012.
Решение 2
Достаточно подобрать такие "большие" числа a', b', c', что их произведение делится на каждое из них, увеличенное на 1. Умножив их все на 2012, мы получим требуемый пример.
Рассмотрим произвольное t > 1010. Пусть c' = 2t, b' = 2c' + 1 = 4t + 1, a' = b'c' – 1 = 8t² + 2t – 1 = (4t – 1)(2t + 1). Тогда a'b'c' делится на b'c' = a' + 1. Кроме того, a'c' делится на (2t + 1)·2 = b' + 1 = 2(c' + 1), что и требовалось.
Ответ
Существуют.
Замечания
1. В последнем примере все числа различны.
2. Существуют и другие примеры.
