Условие
Точка E – середина отрезка, соединяющего ортоцентр неравнобедренного остроугольного треугольника ABC с его вершиной A. Вписанная окружность этого треугольника касается сторон AB и AC в точках C' и B' соответственно. Докажите, что точка F, симметричная точке E относительно прямой B'C', лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
Решение 1
Будем считать, что AB > AC. Пусть BB1 и CC1 – высоты треугольника ABC, H – его ортоцентр, O и I – центры вписанной и описанной окружностей. Как известно, треугольники AB1C1 и ABC подобны (см. задачу 56508). Пусть точка M симметрична точке I относительно B'C' (см. рис.).
Лемма. Точки M и I – соответственные точки в треугольниках AB1C1 и ABC.
Доказательство. Поскольку AI ⊥ B'C', точка L лежит на биссектрисе AI. Значит, достаточно доказать, что AM : AI = AB1 : AB.
Обозначим через N точку пересечения прямой C'M с AC. Очевидно, C'M || IB' || BB1, поэтому AM : AI = AO : AB' = AN : AC' = AB1 : AB.
Точки B1 и C1 лежат на окружности с диаметром AH, E – центр этой окружности. Значит, точки E и O в треугольниках AB1C1 и ABC также соответственны; поэтому ∠OIA = ∠EMA. Так как точка F симметрична E относительно B'C', отрезки FI и EM также симметричны, и ∠FIA = ∠EMI. Итак, ∠OIA + ∠FIA = ∠EMA + ∠EMI = 180°, что и означает, что точки O, I, F лежат на одной прямой.
Решение 2
Мы используем те же обозначения, что и в решении 1. Обозначим через l1, l2 и l3 внешнюю биссектрису угла BAC, серединный перпендикуляр к отрезку AI и прямую B'C' соответственно. Очевидно прямые l1, l2 и l3 параллельны. Пусть O' – точка, симметричная точке O относительно l1. Докажем, что точки O', A, E лежат на одной прямой, причём отношение расстояний между точками O', A, E равно отношению расстояний между прямыми l1, l2, l3.
Действительно, прямые AO и AH, очевидно, симметричны относительно биссектрисы AI угла A, а значит, и относительно перпендикулярной ей прямой l1 (рис. слева).
Обозначим через A2 и A3 точки пересечения прямой AI с l2 и l3 соответственно, а через T, K, L середины стороны BC и дуг BC, BAC описанной окружности (рис. в центре).
Покажем, что точки, симметричные точкам O', A и E относительно прямых l1, l2, l3 соответственно (а это и есть точки O, I, F) лежат на одной прямой. Пусть прямые OI и AO' пересекаются в точке X, F' – точка пересечения прямых EF и OI, а S1 и S3 – середины отрезков OO' и F'E (рис. справа). Треугольники XOO', XIA и XF'E гомотетичны, поэтому их медианы XS1, XA2, XS3 лежат на одной прямой, и из подобия получаем
S1A2 : A2S3 = O'A : AE = A2A : A2A3. Это означает, что A3S3 || AS1. Значит, S3 лежит на прямой l3, откуда F' = F, что и требовалось доказать.
Замечания
В последней части решения 2, по сути, доказан следующий физически очевидный факт.
Пусть точка X движется по плоскости с постоянной (вектор-)скоростью, а прямая l движется с постоянной скоростью по той же плоскости, оставаясь параллельной самой себе. Тогда точка, симметричная X относительно l, также движется с постоянной скоростью (и, следовательно, по некоторой прямой).
