|
|
 |
Условие
Для натурального n обозначим Sn = 1! + 2! + ... + n!. Докажите, что при некотором n у числа Sn есть простой делитель, больший 102012.
Решение
Для простого p и натурального n обозначим через vp(n) степень, в которой p входит в разложение n на простые множители. Заметим, что если
vp(n) ≠ vp(k), то vp(n + k) = min {vp(n), vp(k)}. Отсюда немедленно следует, что если vp(Sn) < vp((n + 1)!) при некотором n, то vp(Sk) = vp(Sn) при всех k > n.
Предположим, что все простые делители чисел вида Sn не превосходят P = 102012.
Рассмотрим некоторое простое p ≤ P. Как показано выше, если vp(Sn) < vp((n + 1)!) при некотором n, то существует такое число ap, что vp(Sk) < ap при всех натуральных k. Назовём такое простое число p маленьким; все остальные простые числа, меньшие P, назовём большими. Так как маленьких простых конечное количество, существует натуральное M, большее любого числа вида pap, где p – маленькое.
Пусть теперь p – большое простое число, а n таково, что n + 2 кратно p. Тогда vp(Sn+1) ≥
vp((n + 2)!) > vp((n + 1)!); значит,
vp(Sn) = vp(Sn+1 – (n + 1)!) = vp((n + 1)!) = vp(n!) (поскольку n + 1 не кратно p).
Рассмотрим число N = MP! – 2. По доказанному, vp(SN) = vp(N!) для каждого большого простого p.
Кроме того, поскольку N > M, то
vp(SN) ≤ vp(pap) ≤ vp(N!) для любого маленького простого p. Поскольку все простые делители числа SN – либо большие, либо маленькие, отсюда следует, что SN ≤ N!. Противоречие.
