Задача 116909

Темы:    [ Пятиугольники ] [ Перегруппировка площадей ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Канель-Белов А.Я.

В выпуклом пятиугольнике P провели все диагонали, в результате чего он оказался разбитым на десять треугольников и один пятиугольник P'. Из суммы площадей треугольников, прилегающих к сторонам P, вычли площадь P'; получилось число N. Совершив те же операции с пятиугольником P', получили число N'. Докажите, что  N > N'.

Решение

  Пусть A₁A₂A₃A₄A₅ – исходный пятиугольник, B₁B₂B₃B₄B₅ – пятиугольник, образованный его диагоналями, а C₁C₂C₃C₄C₅ – пятиугольник, образованный диагоналями B₁B₂B₃B₄B₅ (см. рис.). Продолжим нумерацию вершин циклически (то есть  A_i+5 = A_i  и т.д.).

  Заметим, что  N' = (S_B1B2B3 + S_B2B3B4 + ... + S_B5B1B2) – S_B1B2B3B4B5,  поскольку в сумме справа пятиугольник C₁C₂C₃C₄C₅ учтён с коэффициентом –1, треугольники вида B_iB_i+1C_i+3 – с коэффициентом 1, а треугольники вида C_iC_i+1B_i+3 – с нулевым коэффициентом. Значит, требуемое неравенство равносильно неравенству  S_A1A2B4 + S_A2A3B5 + ... + S_A5A1B3 > S_B1B2B3 + S_B2B3B4 + ... + S_B5B1B2.  Докажем, что  S_AiAi+1Bi+3 > S_Bi+2Bi+3Bi+4.
   Ясно, что достаточно это доказать при  i = 1.  Присоединив к каждому из треугольников A₁A₂B₄ и B₃B₄B₅ треугольник A₁B₃B₄, получим треугольники A₁B₃A₂ и A₁B₃B₅ с общим основанием A₁B₃. При этом расстояние от точки B₅ до этого основания меньше, чем от точки A₂; значит,  S_A1A2B3 > S_A1B3B5.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
класс
Класс	9
задача
Номер	9.7