|
|
 |
Условие
В окружность Ω вписан четырёхугольник ABCD, диагонали AC и BD которого перпендикулярны. На сторонах AB и CD во внешнюю сторону как на диаметрах построены дуги α и β. Рассмотрим две луночки, образованные окружностью Ω и дугами α и β (см. рис.). Докажите, что максимальные радиусы окружностей, вписанных в эти луночки, равны.
Решение
Пусть X и Y – середины дуги α и дуги AB окружности Ω соответственно, а O – центр Ω. Тогда луночка с вершинами A и B находится между концентрическими окружностями с центром O и радиусами OY и OX (см. рис.). Значит, диаметр окружности, вписанной в луночку, не превосходит XY; с другой стороны, окружность с диаметром XY касается Ω и α и лежит в луночке. Итак, максимальный диаметр окружности, вписанной в эту луночку, равен XY.
∠AOK = 90° – ∠COL = ∠OCL, поэтому прямоугольные треугольники AOK и OCL равны по гипотенузе и острому углу. Значит,
OX = OK + KX = OK + KA = ½ (AB + CD), поэтому XY = ½ (AB + CD) – r, где r – радиус Ω.
Аналогично максимальный диаметр окружности, вписанной в луночку с вершинами C и D также равен ½ (AB + CD) – r.
