Задача 116965

Темы:    [ Текстовые задачи (прочее) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

Три квадратные дорожки с общим центром отстоят друг от друга на 1 м (см. рис.). Три муравья стартуют одновременно из левых нижних углов дорожек и бегут с одинаковой скоростью: Му и Ра против часовой стрелки, а Вей по часовой. Когда Му добежал до правого нижнего угла большой дорожки, двое других, не успев ещё сделать полного круга, находились на правых сторонах своих дорожек, и все трое оказались на одной прямой. Найдите стороны квадратов.

Решение

  Длины сторон двух соседних дорожек отличаются на 2 м. Поэтому в момент, когда Му добежал до угла, Ра пробежал по правой стороне дорожки 2 м и находился на расстоянии  2 + 1 = 3 м  от "нижней" стороны внешней дорожки. Поскольку Ра находится посредине между Му и Веем, Вей в этот момент находится на вдвое большем расстоянии от этой стороны, 6 м. То есть Вею остаётся ещё пробежать по боковой стороне  6 – 1 – 1 = 4 м.

  Но если бы Вей бежал против часовой стрелки, то он пробежал бы всю нижнюю сторону и ещё 4 м по правой стороне (так как эта сторона на 4 м короче стороны внешнего квадрата), то есть оказался бы в той же точке. Раз Вей попадает в одну и ту же точку, двигаясь и по часовой стрелке, и против часовой стрелки, эта точка – правый верхний угол квадрата. То есть сторона этого квадрата равна 4 м. Соответственно, стороны двух других квадратов равны  4 + 2 = 6 м  и  6 + 2 = 8 м.

Ответ

4 м, 6 м, 8 м.

Замечания

7 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	2013
класс
Класс	7
задача
Номер	5