|
|
 |
Условие
Куб с ребром n составлен из белых и чёрных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких n это возможно?
Решение
Количество "соприкосновений" чёрных и белых граней в три раза больше как количества чёрных, так и количества белых кубиков. Следовательно, количество чёрных кубиков равно количеству белых и общее число кубиков чётно.
Построим теперь куб с ребром 2, удовлетворяющий условию задачи. Для этого нижний слой 2×2 уложим в шахматном порядке, а верхний – также в шахматном порядке, но с противоположной раскраской (см. рис.). Любой куб с чётной длиной ребра, удовлетворяющий условию, можно собрать из таких кубиков с ребром 2, прикладывая их друг к другу гранями с одинаковой раскраской.
Ответ
При всех чётных n.
Замечания
1. Чётность количества кубиков сразу следует из леммы о рукопожатиях (см. задачу 98656).
2. 4 балла.
