Задача 30920
|
|
 |
Условие
a, b, c – натуральные числа и 1/a + 1/b + 1/c < 1. Докажите, что 1/a + 1/b + 1/c ≤ 41/42.
Решение
Можно считать, что a ≤ b ≤ c. Рассмотрим несколько случаев.
1) a = 2. Тогда b > 2. Если b = 3, то c > 6 и 1/a + 1/b + 1/c ≤ 1/2 + 1/3 + 1/7 = 41/42. Если b = 4, то c > 4 и 1/a + 1/b + 1/c ≤ 1/2 + 1/3 + 1/5 = 19/20 < 41/42.
Если b > 4, то 1/a + 1/b + 1/c ≤ 1/2 + 1/5 + 1/5 = 9/10 < 41/42.
2) a = 3. Если b = 3, то c > 3 и 1/a + 1/b + 1/c ≤ 1/3 + 1/3 + 1/4 = 11/12 < 41/42. Если b > 4, то 1/a + 1/b + 1/c ≤ 1/2 + 1/4 + 1/4 = 5/6 < 41/42.
3) a > 3. Тогда 1/a + 1/b + 1/c ≤ 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4 < 41/42.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. |
| Год издания | 1994 |
| Название | Ленинградские математические кружки |
| Издательство | Киров: "АСА" |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 16 |
| Название | Неравенства |
| Тема | Алгебраические неравенства и системы неравенств |
| задача | |
| Номер | 077 |
