Задача 32091

Темы:    [ Пятиугольники ] [ Неравенства с площадями ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Перенос помогает решить задачу ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Дан выпуклый пятиугольник. Каждая диагональ отсекает от него треугольник. Докажите, что сумма площадей треугольников больше площади пятиугольника.

Решение

Будем двигать вершину A данного пятиугольника ABCDE параллельно диагонали BE. При этом площадь треугольника BEA и, тем самым, пятиугольника ABCDE не меняется. Действительно, основаниями всех получаемых при движении треугольников будет отрезок BE, а высоты равны между собой. Из всех рассматриваемых треугольников при таком движении площадь будет меняться лишь у DEA и EAB. Как меняются эти площади? Рассмотрим один из них. Пусть при сдвиге на величину x точка A перейдет в точку A′ (рис. a). Обозначим через h и h′ соответственно высоты, опущенные на сторону DE из точек A и A′ соответственно, а через — угол между прямыми AA′ и DE. Тогда . Таким образом, изменение площадей рассматриваемых треугольников пропорционально величине сдвига вершины A (до тех пор, пока какой-то из треугольников не выродится, то есть мы пересечем прямую DE или BC). Значит, при движении в одном направлении сумма площадей рассматриваемых треугольников возрастает, а в другом — убывает. Без ограничения общности можно считать, что эта сумма убывает при движении в направлении прямой DE. Значит, доказательство можно проводить для вырожденного пятиугольника ABCDE, у которого вершины A, E и D лежат на одной прямой (рис. б). Рассуждая аналогично, будем двигать вершину E в направлении вершины A или D. Таким образом мы сведем задачу к случаю вырожденного пятиугольника, у которого две вершины (E и A или D) совпадают. В этом случае утверждение очевидно, поскольку уже два из рассматриваемых треугольников ABE и BCD покрывают превратившийся в четырехугольник пятиугольник ABCDE.

Дадим кратко другое доказательство. Назовем дефектом выпуклого пятиугольника разность между его площадью и суммой площадей треугольников, отсекаемых от него диагоналями. Мы должны доказать, что дефект любого выпуклого пятиугольника отрицателен. Из определения следует, что дефект пятиугольника меньше его площади. Для любого выпуклого пятиугольника можно рассмотреть пятиугольник, высекаемый его диагоналями. Площадь этого пятиугольника меньше площади исходного, а дефект — больше (докажите это самостоятельно). Таким образом, можно построить бесконечную последовательность пятиугольников, площади которых убывают и становятся сколь угодно малыми (последнее утверждение требует доказательства и не является тривиальным, как кажется на первый взгляд!), а дефекты возрастают. Отсюда следует, что дефект любого пятиугольника отрицателен.

Замечания

Источник решения: книга "В.О.Бугаенко. Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике. МЦНМО-ЧеРо. 1998".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	10
Дата	1987
задача
Номер	15