Задача 32137

Тема:    [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Вершины A, B, C треугольника соединены с точками A₁, B₁, C₁, лежащими на противоположных сторонах (не в вершинах).
Могут ли середины отрезков AA₁, BB₁, CC₁ лежать на одной прямой?

Решение

Средняя линия B₂C₂ треугольника ABC параллельна основанию BC. Отсюда следует, что эта прямая содержит среднюю линию треугольника CAA₁. Поэтому середина отрезка AA₁ лежит на отрезке B₂C₂. Аналогично середины отрезков BB₁ и CC₁ лежат на двух других средних линиях треугольника ABC (см. рис.). Поскольку прямая не может пересекать три стороны треугольника во внутренних точках, три указанные точки не могут лежать на одной прямой.

Ответ

Не могут.

Замечания

1. 3 балла.

2. Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	15
Дата	1993/1994
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	2
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	8
Год	1945
вариант
Класс	7,8
Тур	2
задача
Номер	4
олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	16
Дата	1993
задача
Номер	02