|
|
 |
Условие
На круглом столе через равные промежутки лежат пирожные. Игорь ходит вокруг стола и съедает каждое третье встреченное пирожное (каждое пирожное может быть встречено несколько раз). Когда на столе не осталось пирожных, он заметил, что последним взял пирожное, которое встретил первым, и прошёл ровно семь кругов вокруг стола. Сколько было пирожных?
Решение
Так как Игорь прошёл целое число кругов, то он встретил первое пирожное в момент подхода к столу. Кроме того, последовательность поедания пирожных не изменится, если убрать требование о "равных промежутках".
Если бы пирожных было четыре, Игорь прошёл бы ровно пять кругов (см. рисунок).Если пирожных больше девяти, то Игорь пройдёт какое-то расстояние до того, как пирожных останется ровно девять, дойдёт до ближайшего пирожного и после этого сделает ровно семь кругов. Значит, всего он прошёл больше семи кругов.
Если же пирожных меньше девяти, a кругов тоже семь, то, как выше, докажем, что для девяти пирожных число кругов больше семи. Противоречие.
Ответ
9.
Замечания
Можно решать задачу и с конца. Пусть A – последнее съеденное пирожное, а B – предпоследнее. От места съедания B до конца Игорь пройдёт два полных круга плюс дугу BA. Если C – предыдущее съеденное пирожное, то оно должна располагаться между A и B (по направлению обхода), и между "поеданиями" C и B Игорь пройдёт полный круг плюс дугу CB, что вместе с уже учтённым расстоянием составит три круга плюс дугу CA. И так далее, пока не наберётся семь кругов.
