|
|
 |
Условие
Внутри треугольника ABC нашлись такие точки P и Q, что точка P удалена от прямых AB, BC, CA на расстояния 6, 7 и 12 соответственно, а точка Q удалена от прямых AB, BC, CA на расстояния 10, 9 и 4 соответственно. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.
Подсказка
Докажите, что середина отрезка PQ является центром вписанной окружности треугольника ABC.
Решение
Обозначим через D, E, F основания перпендикуляров, опущенных из точек P, Q, O на прямую AB соответственно. По условию PD = 6, QE = 10. OF является средней линией в трапеции DPQE, поэтому длина OF равна ½ (PD + QE) = ½ (6 + 10) = 8. Следовательно, точка O удалена на расстояние 8 от прямой AB. Аналогично находим, что O удалена на расстояние ½ (7 + 9) = 8 от прямой BC и на расстояние ½ (12 + 4) = 8 от прямой CA. Таким образом, O – центр вписанной окружности треугольника ABC, и радиус этой окружности равен 8.
Ответ
8.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
